研究領域．數論、幾何與分析
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一、數論、幾何與分析
泛函分析(Functional Analysis)它的起源來自對微分與積分方程的研究，是20世紀初形成的一個數學分支隸屬於分析學，主要係探討無窮維空間之間的映射以及它們各種的解析結構拓樸結構和幾何結構，它綜合的運用分析、代數、幾何的觀點與方法研究、分析數學中的許多問題。 泛函分析自身的主要研究內容有算子譜理論、巴拿赫代數、拓樸線性空間理論和廣義函數論，它是一門極富創造性的領域，它的創造性又極大地推動和豐富了其它領域的發展，如：偏微分方程、機率論、調和分析等等。到了現代它已被廣泛地應用到數學的各個分支以及成為物理、化學、工程理論等某些分支的重要工具。
數論是最古老的兩個數學分支(算術與幾何)之一。 古典的數論是專門研究整數的性質，例如質數的分布與方程式整數解的問題。 這類的問題往往形式上十分初等(如哥德巴赫猜想與費馬最後定理)，但事實上卻要用到許多艱深的數學知識。這一領域的研究從某種意義上推動了數學的發展，催生了大量的新思想和新方法。
近代的數論，根據所使用的工具大體上可以分為解析數論與代數數論。 另一方面，不論是動態系統、幾何，表現理論、計算等等領域也都在數論上面有非常豐富的結果。 誠如高斯所言：「數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。」
“幾何”來自希臘文，原意是測地術。在古代，人們在生活中接觸各種平面、直線、方、圓、長、短等概念，逐步認識了這些概念跟數量間的關係，成為幾何學的基本概念。 幾何學是數學中最古老的分支之一，也是在數學這個領域裡最基礎的分支之一。 兩千多年前古希臘幾何學家柏拉圖、亞里士多德與歐幾里得把邏輯學的思想方法引入了幾何，將幾何整理成一門用公理法建立起演繹的理論，幾何成為一個有嚴密的理論系統和科學方法的學科。 近代物理學家愛因斯坦也是精通幾何學。在狹義相對論中，愛因斯坦應用幾何學的思想方法，把整個理論建立在兩條公理上：相對原理和光速不變原理，開創他的研究工作。 因此，凡符合公理系統的元素都能構成幾何學，每一個幾何學的直觀形象不止只有一個，幾何圖形都只是一種直觀形象，在研究幾何學的時候，並不是絕對必要的。 就此，幾何學研究的對象更加廣泛、更為抽象。這些對近代幾何學有深遠的影響。
二、老師的研究興趣
王國仲 老師 （算子理論、矩陣分析、數值域）
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我們的研究主要是在數值域的理論分析方面，這是屬於數值域與泛函分析、矩陣分析方面的連結。 希爾伯特空間或巴拿赫空間上的線性有界算子的數值域和數值域半徑的探究常常會幫助我們更了解算子的性質。例如：我們已知有界算子的譜都會包含在算子的數值域的閉集裡。而且許多數值域的幾何性質也與算子的譜有所關連。所以數值域的研究可以幫助我們了解算子的譜理論。在這方面的工作，我們目前研究數值域乘積的問題，這是應用在量子訊息上的工作。另一方面，我們也處理一些特殊算子或矩陣的數值域，例如：部分等距算子和機率矩陣。 在近代數值域已經被廣泛的應用在許多領域，古典的數值域理論也被推廣至許多不同類型，而這些類型的數值域也在許多領域扮演著重要的角色。例如：高秩數值域應用在量子物理上，C數值域半徑應用在弱地酉不變範數，聯合數值域應用在聯合算子的譜與譜的半徑上。我知道許多這方面的問題常常被拿出來討論，我也很感興趣，目前也與這方面的專家共同合作。 |
康明軒 老師 （數論、表現理論及其應用）
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我主要的研究興趣是代數群 、表現理論與其在其他領域的應用。 我與我的合作者有一系列關於複體上 zeta 函數的研究 ，其中這些複體是p-adic 代數群的均勻網格的分類空間。我們也對這些 zeta 函數的質譜性質很有興趣，例如對於他的零點於與奇點的分布，是否會有類似黎曼猜想的性質。 此外，我們對於單元素體的理論也很有興趣。透過這個理論，可以幫助我們把 p-adic 代數群上的問題化約到平直 Weyl 群上的問題，此時我們會有更多的幾何直觀來幫助我們解決問題。而我們也有一些關於平直Weyl群與Iwahori-Hecke代數上的Poincare 數列的工作。 另外一方面，我們也對純數學的理論在其他領域的應用很有興趣。舉例來說，我們把極端網格理論與群表現理論應用在球型的蒙地卡羅法。此外，我們透過群表現理論來討論環狀富勒希的質譜性質。 |
王夏聲 老師 （變分法、幾何測度論）
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在變分學領域，我們關注研究的問題是源自於幾何與物理在各類限制條件下的能量泛函極小映射的部分正則性與奇異點集合的結構，與像集合的幾何與拓樸結構間的關係。 對於歐式空間的某些子集合，我們找尋一些適切的Hausdorff 測度用以量測此子集合。藉由此些集合的Hausdorff 維度，我們可將此些子集合拆解成不同維度更小的子集合。經由更小的子集合的Hausdorff 測度性質，我們探討它們的光滑性與曲率，從而量化研究原始集合的幾何結構。 |
三、相關選修課程
- 實變函數論[研]
- 矩陣分析[研]
- 偏微分方程[研]
- 泛函分析[研]
- 進階代數[研]
- 代數數論[研]
- 解析數論[研]
- 表現理論[研]
- 橢圓曲線論[研]
- 代數幾何[研]
- 模型式理論[研]
- 拓樸學
- 幾何學
- 分析導論
- 偏微分方程導論
- 基礎數論