研究領域．財務工程與機率

我們研討在球體均場模型上的無序混沌問題。內容所關心是由兩個相同外生變數的吉布斯測度生成的獨立自旋構體之間的重疊行為。預期結果表示如果哈密頓函數的無序性稍為解耦，則重疊量將會集中接近一個常數。透過Guerra複製對稱破缺機制，我們確立了在自由能和吉布斯測度的水準。

馬可夫鏈蒙地卡羅方法(簡稱為MCMC)是一個被廣泛運用的隨機演算法，其目的是要針對某一特定集合上的機率分布進行取樣模擬。一般而言，被取樣的機率分布其常態化係數是無法直接計算。因此，機率統計學家透過Metropolis-Hasting方法模擬一個馬可夫鏈，並設定其極限分布為被取樣分布。如此一來便可透過馬可夫鏈的收斂性來逼近該機率分布。然而在時間是有限的前提下，MCMC的定性結果並不適用於實際模擬。針對這個問題，我們可以設定一個量測收斂性的標準，讓使用者可以根據該標準訂出不同的收斂需求，該需求反映在MCMC上即為一個演算法的停止時間。停止時間可以是確定的，也可以是隨機的，但時至今日沒有一個方法可以有效且準確地推算出演算法的停止時間。

馬可夫鏈的cutoff現象是該隨機過程在演化時的相變現象。這個觀念是由Aldous和Diaconis在八零年代初期所提出，目的是要刻劃馬可夫鏈的機率分布在演化過程中的劇烈變化。簡而言之，在某個時間(相變時間)以前，馬可夫鏈的機率分布與極限分布的距離會處於最大值的狀態。接著在一段極短(相較於相變時間)的時間(相變區間)內，該距離函數會快速遞減，然後以指數速率收斂至零。當MCMC具有相變現象時，相變時間和相變區間提供了有效的演算停止時間。

MCMC演算法在其他領域的研究中也扮演了相當重要的角色，其中包含了統計物理學、資訊科學、分子生物學和金融數學等等。從跨領域研究來看，MCMC演算法的模型可以非常複雜，例如不完整隨機媒體上的隨機漫步，或是緊緻黎曼流形上的馬氏過程。針對這類的問題，演算停止時間的計算將是很有挑戰性且受到高度期待的應用問題。

以下是我們展望未來的幾個前瞻性研究主題。
(1) GCL(Graph connection Laplacian)算子的譜分析
(2) 隨機媒體上的隨機漫步
(3) 非同質性的馬可夫過程

我的研究領域主要是最佳化理論，同時涵蓋機器學習、資料探勘、巨量資料、數值最佳化與作業研究。過去十年來的研究成果，主要由監督式學習法、半監督式學習法、無監督式學習法以及線性/非線性維度縮減的模式，發展出多樣的學習演算法。近期的研究主題則著重在結合機器學習的技術應用於資汛安全的問題，例如網路入侵偵測、異常偵測、惡意網址偵測，以及合法用戶識別。目前的研究重點是提出以隨機最佳化做為基礎的線上學習演算法，去處理大規模的數據資料。我也對探討數值分析的研究議題很有興趣，例如加速隨機梯度法、Hessian 反矩陣近似式和二階訊息。壓縮感知、字典學習、稀疏編碼則也是我的研究興趣。我相信這些主題的研究，都對巨量資料分析以及物聯網的數據分析扮演相當關鍵及重要的角色。