研究領域．數學建模與科學計算

本實驗室為「計算共形幾何與數值計算研究室」隸屬於交大應數系丘成桐中心，

本實驗室研究主要包含以下兩部分:

(a) 三維馬克斯威爾方程的特徵分解和快速特徵值演算法：
根據不同的材料週期性如簡單立方與面心立方結構，我們皆能透過Yee形式來離散馬克斯威爾方程，進而得到廣義特徵值問題或是有理特徵值問題。我們在這些問題的主要理論成果為推導出雙旋度算子的特徵分解以及單旋度算子的奇異值分解且提出了無零空間法(逆投影Lanczos方法)，除此之外還運用了牛頓型態以及非等價移除技巧來求解馬克斯威爾方程。數值成果方面，我們計算出以下材料的能隙結構 (一)：介電材料，此類材料的參數設定為：介電系數及磁導率皆大於零，磁電耦合係數等於零 ε>0, μ>0, ξ=ζ=0；(二) 色散金屬材料，此類材料的介電函數 ε=ε(ω) 跟電磁波頻率有關且可透過Drude模型來描述其相關性，當電磁波頻率較高時，則需使用有兩個奇異點的Drude-Lorentz模型來描述介電函數。(三) 左手性材料或負折射材料(複合材料)，此類材料的參數取值為：介電系數及磁導率皆小於零，磁電耦合係數皆不等於零 ε<0, μ<0, ξ,ζ≠0 當磁電耦合係數皆為純虛數且互相共軛時，這類材料被稱為對掌性材料以及擬對掌性材料。在我們的快速特徵值演算法中，所有包含在特徵值問題中不論是因為問題退化或是算子本身所有的零特徵值皆已被成功地移除。最後我們把所有研究成果統合，在Matlab平台上開發了一套基於快速傅利葉變換的快速特徵值演算軟體，可以在上述的三類材料上，有效率地、可靠地、穩健地計算各式各樣不同的能隙結構。

(b) 三維計算共形幾何以及其應用：
我們發展曲面共形映射的快速算法，如虧格為零的封閉曲面映到球面 S²、單一邊界的簡單連通曲面映到單位圓盤D₁、虧格為一(g=1)的封閉曲面映到 R² 上的平行四邊形，以及高虧格(g ≥ 2)的封閉曲面映到H²上的多邊形。我們提出求解非線性熱方程的半隱式尤拉法，以及離散Ricci流與虧格g ≥ 1 封閉曲面的circle packing技術來計算曲面的共形映射( Figure 1 及 2 ) 。丘成桐中心的影像實驗室具備一台高解析度的3D動態掃描儀，可供掃描3D的人臉曲面，並透過我們技術來計算圓盤共形映射( Figure 3 )。我們積極與產業界合作，並發展3D動畫、數位演員等相關應用( Figure 4 及 5 )。此外，我們正著手發展表情分析、人臉辨識、古物保存、工業檢測以及醫學影像之應用。

在應用數學的世界裡，界面流之研究一直是人們主要關心的議題，並在許多自然界現象或是工業應用中扮演重要的角色，特別是在軟物質以及微流體系統。我們已成功地應用沉浸邊界法 (immersed boundary method) 發展出數種簡單且有效率的數值方法來模擬帶有界面活性劑之流體系統問題以及囊泡 (vesicle) 流體動態系統，其簡述如下：

一.帶有可溶/不可溶之界面活性劑的界面流問題:
界面活性劑為一附著在流體界面上之物質，其功能為降低界面之表面張力並產生毛細現象。它在自然界的物理現象或者微流體工業技術中扮演了重要角色。譬如食物生產業、化妝品、 油品、水資源淨化等等，皆是毛細現象的應用。 在微流體系統中，由界面活性劑所帶出的毛細現象更是顯著地影響整個流體系統。在圖一中，我們透過數值方法模擬一般的水泡在穩態下是否含有不可溶界面活性劑之差異(實線為帶有界面活性劑)。另外，我們模擬了水泡在給定流場下之可溶界面活性劑濃度的分佈 (如圖二)。

二.囊泡流體動態系統:
近年來在生物醫學及計算流體力學領域中，囊泡流體系統已成為一個熱門的研究項目。事實上，囊泡與紅血球有著相似的力學行為模式，因此探討囊泡的研究有益我們對於紅血球的了解。我們知道囊泡的細胞膜由磷脂構成，其膜具有對於局部表面擴張及彎曲的抵抗力，所以自然地可將囊泡的表面視為一種不可延展 (inextensible)物質。在圖三，我們利用數值模擬方法展示出囊泡由複雜幾何構造趨近於穩定態的流體形變過程。

研究興趣主要是發展數學方法，研究非線性系統的動態性質；並將動態學理論應用在一些生物現象或生物問題的數學模型分析；包含細胞分化(cell differentiation)、骨節生成(somitogenesis)、基因調控(gene regulation)、神經系統(neuron system)、生態系統(ecological system)，而對這些數學模型方程式有較完整的了解。另一研究興趣為有關類神經網路 (neural networks) 之數學理論。各種類神經網路之數學模式一般可以描述為連續時間或離散時間之微分方程。

我們的研究興趣主要在於能被模型成耦合網路模型的真實世界問題。這些考慮的問題包含了以下所列：(i)耦合混沌振盪器; 耦合映射網格：在過去的幾年裡，我們研究許多在耦合網路中的同步化現象，並且做出一些分析的理論結果來闡述同步化發生可能性。這些結果能被應用在實際電路系統的設計以及通訊加密上（見圖一）。 (ii) 神經網路; 神經傳導路徑：近幾年來在研究神經元的（激發）動態行為研究，研究的興趣已由研究單一個神經元延伸到整個神經元網路。而我們所關注的是在研究神經元在神經網路的同步現象，以及探討在不同程度的連結耦合下，神經細胞將呈現何種不同的動態行為 （見圖二）。 (iii) 群聚行為, 存在於生物群體間，諸如鳥、魚、細菌、昆蟲，的共同行為： 最近，我們也考慮了生物體的群聚現象並且討論生物於群聚中會避免碰撞的機制（見圖三） 。 (iv)傳染病模型; 疾病傳染模型： 我們的團隊對於研究人與人之間的接觸網路、人們對疫情認知的程度與感染媒介對於疾病的散播影響也有興趣。 (v)微觀和巨觀的車流模型： 交通堵塞問題亦是我們有興趣研究的項目之一。我們利用一些車流模型來解釋車流與交通堵塞的發生。將來，我們企圖用車流模型來解釋台灣高速公路的車流情形。

我最近的研究主題是探討流體在不均勻介質中的傳輸與擴散問題。這問題是由描述地底下污染源的傳輸，二相介質中的熱傳導，合成物質的張力問題等得到。我主要是考慮這些問題的數學模式的推導，解的收斂性質，及解的數值計算。

考慮一個定義在有週期性質的定義域(週期為ε)上的橢圓方程式。當ε趨近於0時，我們知道方程式的解會收斂到某一個簡單的方程式的解，收斂的速度也可估算出來。對實際的現象我們也想問同樣的問題。假設我們有一個描述實際現象的數學方程式時，(1)我們是否可證明此方程式的解，在很長的時間後與在很大的範圍下，會收歛到某一個簡單方程式的解? (2)若會收斂，則收斂速度為何? (3)是否有一簡單的數值方法可計算描述實際現象的數學方程式的解?

想要回答以上的問題，有幾個基本數學工具是必需的，例如偏微分方程式，遍歷性理論，各種函數空間，均質化方法，及數值計算方法。

我的研究興趣在科學計算的理論與應用。特別是利用有限元素法(FEM)來計算許多來自工程方面的問題，包括流體力學，彈性力學，與幾何光學等。流體力學方面，我們對不可壓縮流的 Navier-Stoke方程，淺流的Shallow water方程與薄膜，潤滑的 thinfilm方程的數值計算有興趣，彈性力學方面，我們對幾何非線性薄膜，碳纖合成板殼以及壓電材料的型變有興趣，並將部分的研究成果應用在三維影像中的幾何形變的處理，而幾何光學的部分，我們運用Monge-Ampere的高階有限元素的數值解來設計光學鏡面。在計算的效能部分，我們則利用多重網格法搭配Krylov space來加速。 至於三維影像的部分，包含三維建模，影像追蹤，機器學習等，目前也是我們主要的研究方向。

在科學計算此研究領域的研究趣向是在「非線性薛丁格方程之數值計算」上，探討（I）求解玻色愛因斯坦凝聚(BEC)現象之基態解與激態解(圖一) &（II）孤波解的穩定分析(圖二)。另外，在動態系統此研究領域的研究趣向是在「動態系統之混沌現象與其應用」上，探討（III）混沌現象之發掘(圖三) &（IV）混沌現象應用於保密通訊(圖四)。

黏性不可壓流體之解析、幾何、及拓樸性質，偏微分方程眾所周知，不可壓的黏性流體之動態乃由不可壓的維納-斯托克斯方程所描述，雖然在十九世紀科學界已熟知如何由牛頓第二定理導出維納-斯托克斯方程，但要遲至1930年代至1950年代之間，當Leray以及Hopf建立起一套維納-斯托克斯方程之弱解之存在性理論時，真正現代意義的，以偏微分方程為立足點的數理流體力學才算真正伊始。

自此之後，在這領域的專家們開始致力於建立Leray-Hopf弱解之光滑性，特別是在弱解帶有某種 “時─空”可積條件之下，但至今為止，是否可能出現弱解在有限時域內爆破而導致光滑性之喪失仍是為解決之大問題。

我們的研究致力於探討發生於非平坦背景空間之不可壓黏性流體之解析、幾何以及拓樸性質，在近年，吾與Magdalena Czubak教授率先觀察在一負曲率曲面之有限能量不可壓黏性流體之非唯一性現象，隨之並建立起一套弱解理論以修補非依性所衍生之差謬。

在不久的將來，吾人欲建立非平坦空間之流體理論與經典平坦空間流體理論間之關聯。

我的研究方向主要是發展分析及計算的數學工具，來解決並用於流體相關問題中所發展出來的數學模型。目前主要研究薄膜流體，此外，我也會與其他領域的科學家合作解決真實的工程問題。

我目前研究主題包含: (1) 牛頓薄膜流體中的手指狀不穩定性; (2) 向列型液晶薄膜的建模與分析; (3)非局部色散-主動耗散系統中的相干結構; (4) 電化降膜流中孤立脈波的互動以及束縛態理論。 舉例來說， 圖一及圖二分別為二維及三維的計算模擬降膜流中的手指狀不穩定性。 圖三則是向列型液晶薄膜其表面的花漾生成模擬。 圖四則是模擬薄膜流體被紊流氣體所推動時其表現孤立脈波的互動情形。

目前研究興趣，主要著重偏微分方程式的計算和分析。偏微分方程式的主要來自地球流體地學的物理模式。其中，感興趣的物理模式包括Primitive equations 和Shallow water equations等等。這些方程式是用來描述在海洋或大氣流體運動行為或為天氣預測的基本方程式。

圖表一，主要是呈現在地球流體力學中，各種尺度下物理相關模式的示意圖。Navier-Stokes 方程式是最基本描述流體運動的方程式。由於三維度方程式本身相當複雜且困難，因此，藉由地球上海洋或大氣的thin layer 結構 (也就物理垂直空間尺度相對於水平尺度的比值小)，學者簡化原本複雜Navier-Stokes equations ，得到Primitive equations。如果只考慮Primitive equations 的first mode (也就是方程式的垂直平均訊息)，則得到Shallow water equations。

目前研究主要課題如下:
1.Nonreflecting boundary conditions:
　主要目的，是能夠提出適當的邊界條件和適當數值方法，使數值解的合理性和精確性。
2.Time periodic flows:
　地球上，週期流可以被看見。主要目的是對相關的週期流體作數學分析和計算。
3.Long time stability:
　主要目的，證明相關數值方法的長期穩定性。

詳細資料，請參考我的網頁(QR code) (圖二)。