必修課程介紹

• 預備知識：微積分、機率論
• 適合年級： 大三
• 課程簡介：

一、 起源及分配

統計起源於國家經濟的描述及其人口數的研究。第一篇經典的統計分析始於1662年由John Graunt（1620-1674）所發表。他指出把大量且使人混淆的資料濃縮成某些合適的表格之重要性。

賭博是機率中的第一個模型，即硬幣或骰子的每一面出現的機率相等。Abraham de Moivre（1667-1754）推導出二項式分配可以用常態分配來得到近似值，此為中央極限定理最早的版本。Jacob Bernoulli （1654-1705）的弱大數法則使得樣本平均數的使用得到有力的支持。當兩個隨機變數獨立且有相同的分配時，Thomas Simpson（1710-1761）計算出其和的分配。

有些人誤認為現代統計學是由於保險學、人口統計及天文學的需要而發展出來的。但事實上，它是由於心理學、醫學、人類學、遺傳學及農業的需要而發展出來的。

在生物學上，Johann Gregor Mendel（1822-1884）經由統計學的方法推導出某些主要遺傳因子的存在。Francis Galton（1822-1911）於1886年研究豌豆及其後代重量之間的關係，因而建立彼此之間的線性迴歸模型。James Douglas Hamilton Dickson(1849-1931)推導出二維常態分配的機率密度函數為某常數；其後，Issac Todhunter（1820-1884）把這個結果推廣到任意的有限維；最後，Arthur Cayley（1821-1895）計算出此常數值。Karl Pearson（1857-1936）從微分方程式的解中得到一些並不是常態分配的機率密度函數。

二、 Karl Pearson 的時代，1890-1920

直到1920年英國生物統計學派的主要成就有下列十一項：

1. 收集和簡化許多實際的資料。

2. 常態分配的定義,部份（partial），多重(multiple）和全部（total）相關係數的定義和誤差的估計。

3.ｘ2的適合度（goodness-of-fit）檢定、比較資料與其假設的分配和Herbert Edward Soper（1865-1930）的條件Poisson隨機變數。

4. 列聯表的ｘ2分析。

5. 相關係數的最大概似估計。

6. 當概似函數未知時，相關係數的估計。

7. 動差法。

8. 常態理論應用到基因選取的問題上。

9. 一般相關性理論的初步結果。

10. 估計理論和估計量精確性檢定理論的初步結果。

11. 建立適量的表格。

三、R. A. Fisher的時代，1921-1936

William Sealy Gosset (1876-1937)設計出一個小樣本的檢定方法，即Student's t 檢定。

Fisher 的四篇值得紀念的文章開啟了統計新紀元，即

(1) 相關係數估計量的分配；

(2) 遺傳學中Mendel和生物統計方法的和解；

(3) 列聯表的解釋；

(4) 估計和統計推論的一般理論。

Fisher 於1920年後在Rothamsted 實驗所發表出應用很廣的變異數分析理論及實驗設計與分析。

四、Neyman-Pearson 的時代，1937-1949

Jerzy Neyman（1894-1981）and Egon Sharpe Pearson（1895-1980）的一系列著名的文獻中闡明了一些統計推論的理論，特別是顯著性檢定的合理性。Neyman和Pearson提出在檢定中兩種不同情況下所可以犯的錯誤，因而成功地得到Neyman-Pearson基本引理、概似比檢定及檢定力（power）的概念。

五、現代，1950-

統計被逐漸數學化：測度論為一般分配及統計推論所必需；Fourier分析是研究波的自然工具；群論和數論被應用到變異數分析及實驗設計上。

電子計算機使得資料的收集及計算變得更可行。統計軟體可以幫我們做許多複雜的計算，例如：估計值的計算及檢定所需的所有計算。確認模型在統計及科學工作中的角色、廣泛使用Bayes方法、提出information理論、利用成本的觀念提出較好的抽樣及品管方法。

許多新的統計分支及應用已被發展出來，例如：決策理論、時間級數、多變量分析、記量經濟學、對局論、臨床試驗、無母數推論、逐次（sequential）分析、分類學及可靠度理論。數理統計及其應用繼續在發展及推廣中。

• 課程大綱：

1. 機率論複習(Review of Probability Theory)：機率空間 (probability space)，機率測度 (probability measure)，隨機變數 (random variable)，期望值 (expectation)，大樣本定理 (large sample theory)
2. 隨機變數之函數（Function of Random Variables）：分配函數（distribution function），動差母函數（moment generating function），變數轉換（change of variables techniques）等技巧
3. 抽樣分配理論（Theory of Sampling Distribution）：順序統計量（order statistics），樣本平均數與變異數之理論（theory of sample mean and variance）
4. 參數之點估計（Parameter Point Estimation）：動差法（method of moment），最大概似估計法（maximum likelihood estimation），充分性（sufficiency）及最小變異估計理論（uniformly minimum variance estimation）
5. 區間估計（Interval Estimation）：母體平均數（confidence interval for poputation mean），變異數（variance），平均數差（difference of means）等區間估計法
6. 假設檢定（Hypothesis Testing）：最強力檢定 (most power test)，一致最強力檢定（uniformly most powerful tests）等。

• 參考書目：

1. Hogg and Craig, Introduction to Mathematical Statistics
2. Mood, Graybill and Boes, Introduction to the Theory of Statistics