必修課程介紹

• 預備知識：微積分
• 適合年級： 大二
• 課程簡介：

方程式有很多種，端視等號兩邊擺著什麼式子。如果其中有一邊出現了函數的微分項，那麼我們可以說這樣一個方程式就是一種微分方程式。科學史上，「微分方程」這回事是伴隨著「微積分」一起現身。所以，是牛頓（ Issac Newton 1642-1727）與萊布尼茲（Leibniz, 1646-1716）為微積分方程三百多年來蓬勃耀眼的發展揭開序幕，其後在Euler（1707-1783），Lagrange（1736-1813），Laplace（1749-1827）等科學家的發展下，更是大放異彩。

從牛頓的時代想要描述物體的運動與星體的運轉到今日人造衛星與大空探測用的飛行器之軌道計算；Schrodinger 時代想要描述微小世界中的波及粒子行為到今日半導體及雷射的應用，其中的關鍵都在於能否有好的微分方程（Differential Equations）來描述上述現象，及是否有好的數學和計算能力來瞭解這些微分方程。在二十世紀的科學發展中，從生態族群的演變、生理醫院中心律不整現象、化學反應、電路設計、光電效應等的數學描述，皆為微分方程。所以，認識和瞭解微分方程式與其所代表的意義，是科學人、科技人必備的基礎訓練。

大部份自然現象的描述都是非線性的（nonlinear）。而大部份的非線性微分方程式都是沒有辦法用基本函數寫下明確的解。雖然數學作為瞭解線性微分方程的工具是很有用的，然而數學進展的速度在解決某些問題上仍是不夠快的。計算機的高速與大量的運算能力，讓科學家另有個好工具。但是科學家仍須俱備良好的數學分析能力，否則將無法判斷計算機的計算結果是否正確。在這一門課裡面我們不僅討論基本方程式的基本性質與解法及一些定性分析，也希望介紹一些數值解法。這門課的基本內容包括線性微分方程組、非線性方程式與解的穩定性、數值方法、Laplace變換（Laplace transform）、偏微分方程與Fourier級數、邊界值問題（boundary value problem）等。

這門課的預備知識是微積分與基本的線性代數。它與動態系統、科學計算、量子力學、古典力學、控制理論等課程有密切的關連。

• 課程大綱：

1. First order ODEs
   existence and uniqueness theorem, separable equations, exact equations, numerical approximations
2. Second order linear ODES
   real and complex characteristic roots, integral transform, and oscillation
3. Higher order linear ODEs
   Wronskian, undetermined coefficient method, variation of parameters
4. Systems of linear ODEs
   fundamental matrix solutions and the exponential matrix solutions
5. Laplace transform
   basic Laplace transform and convolution integral
6. Nonlinear systems, stability, and asymptotic behaviors
7. Series solutions (optional)

• 參考書目：

1. Notes on Differential Equations by Jirí Lebl
2. Elementary Differential Equations and boundary value theorem by W. Boyce and R. DiPrima
3. Differential Equation by Blanchard, Devaney, Hall, and Lee.