演講公告
新聞標題： ( 2010-10-12 )
演講主題：Uniform_partition of Lattice paths
主講人：葉永南 教授 (中央研究院數學研究所)
演講日期：2010年10月19日(星期二) 下午3:00 –4:00
演講地點：(光復校區)科學一館213室
茶會時間：當天下午4:00
摘要內容：
幾率理論中，通常把處理n個隨機變量X1,X2,…,Xn的部分和Si=X1+X2+…+Xi，其中S0=0，的理論稱為波動理論(Fluctuation Theory)。該理論中的一個基本定理是在坐標平面上的隨機路徑中，位於x軸上方的步子數目和第一次出現最大值的位置左邊的步子數目是同分布的。Feller也稱這個結果為等效原理(Equivalence Principle)。考慮一個長為ｎ且ｎ個分量和為０的實數序列r，假設這個序列產生的每一個旋轉序列沒有部分和為０，Spitzer證明了對於任何一個0≤k≤n-1，在序列r的n個旋轉序列中，恰好有一個序列有恰k個正的部分和，也恰好有一個在它的最大值第一次出現的位置左邊恰有k個分量。
將一個集合劃分成若干個較小的集合，使得每個較小的集合的階數都相同，這樣的劃分被稱為集合的均勻劃分。Spitzer的結果是一個獲得集合的均勻劃分的非常有力的工具。比較著名的一個例子是Chung-Feller定理。該定理描述的是坐標平面上Dyck路進能夠被均勻劃分的現象。在一些重要的統計學文獻中，都有花篇幅去介紹Chung-Feller定理。這個定理也被人們用代數，組合，一一對應等各種不同的方法得到。人們也嘗試對這個定理進行推廣，以期得到更多組合結構的均勻劃分和找到劃分的方法。在文章“Generalizations of the Chung-Feller Theorem I”之中，我們從代數的角度出發，發展出一個新的方法去探索如何對組合結構進行均勻劃分。我們的結果把以往參考文獻中許多看似不同的結論統一起來，關於Dyck路徑、Motzkin路徑、Schroder路徑的均勻劃分都成為我們結果的推論。通過我們的結果也可以得到許多新的組合結構的均勻劃分。我們的論文已經在雜志“Bulletin of the Institute of Mathematics. Academia Sinica (New Series)”刊登發表。
Narayana為證明Chung-Feller定理也研究了一個長為n總和為1且各個分量都不大於1的整數序列r的旋轉序列的性質。他所得到的結果可以由Spitzer的結論推導出來。我們發現，我們的論文中的一些例子不能從Narayana的結論得到，也不能由Spitzer的結論中派生出來。這種情況告訴我們，Narayana和Spitzer的結論需要更深入地分析和研究，進行推廣。因此，在文章“Generalizations of the Chung-Feller Theorem II”之中，我們通過考慮一個序列r的λ-旋轉序列，對Narayana的結果進行推廣，這使得我們對一維和二維組合結構的均勻劃分有了新的認識。
進一步分析Narayana的定理中的條件，我們這些條件都是只是均勻劃分現象產生的一些充分條件，而不是必要條件。Spitzer的定理中的條件則是在序列分量總和為0下的的充分必要條件。因此，在文章“Cyclic permutations and uniform partitions”之中，我們考慮序列分量總和為m的情況，得到相應均勻劃分現象產生的充分必要條件。
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