名著導讀
《Tien-Yien Li and James Yorke, Period three implies chaos, American Mathematical Monthly, 82, 1975, 985-992》
撰寫/石至文 老師(2006)
1975 在美國馬里蘭大學數學系就讀的臺灣旅美博士生李天岩先生與他的指導教授 James Yorke 發表了這一篇有劃時代意義的文章,自此,"Chaos" 這個用來描述具有某種複雜行為,卻又亂中有序的名詞,正式被啟用。這也是 Lorenz 於1963-1964年藉由剛開發出的電腦計算模擬氣象流體而發現複雜現象後,在西方科學界首次發展出的渾沌現象的數學描述。
設 F 為一連續的實變數實值函數。若一個實數點x經F 疊代 k次後回到原來的點x (值),我們就說x是F的 k週期點。這篇文章證明了F只要有週期為3的點,就存在任意正整數週期的點;其次,文章中也推導了此類函數之疊代 (描述系統之演化) 如何敏銳的依起始值之不同而改變,此即為後來大家所熟知的「蝴蝶效應」。
文章中的推導與計算僅使用基本的數學分析,但非常地巧妙與精細。大一或大二的學生用心點就可以讀懂;看懂這文章絕對可以感知到數學的Power。
李天岩教授現為美國Michigan State University 的 Distinguished Professor of Mathematics, James Yorke 教授現為美國University of Maryland 的 Distinguished University Professor of Mathematics and Physics;他認為「A PhD in mathematics is a license to investigate the universe」。
《Paul R. Halmos, I want to be a Mathematician, an Automathography》(Springer, New York, 1985)
撰寫/吳培元 老師(2006/11)
向眾人推薦的這本書是美國知名數學家Paul Richard Halmos在二十年前出版的他的「數學自傳」。所以要強調這是一本「數學自傳」,是因為有別於其他數學家的傳記或自傳,作者在書中只專注於談論他自一九三○年代至一九八○年代這五十年間作為一個職業數學家的生涯歷程,對於他個人的出生、家庭、經歷、嗜好等和數學無關的部份都儘量省略不談。 Halmos在全世界的數學圈知名度都相當高。主要是因為他的文筆流暢,用字精準,寫的幾本書都非常暢銷,被數學界廣泛採用。我第一次聽到他的名字是在四十年前唸台大數學系二年級的時候。當時的一門必修課「高等幾何學」的主要參考書就是他寫的“Finite-dimensional Vector Spaces”。其後我在一九七○年到美國印地安那大學唸博士學位,去那裡的一個主要原因是發現Halmos也在那裡。當時系裡最強的一個領域就是由他領導的「算子理論」,約有六、七個教授在此一研究群。我也就順理成章地專攻這個領域。每星期的「泛函分析研討課」上,只見他高高在上地坐在教室前排提意見、發問題,研究生們只能在後座瞻仰他的表演。我給的第一個英文演講也是在這個研討會上。當時只見台下坐著一排教授專注地聽、盯著看,我的心情當然也緊張萬分,還好順利講完。講後Halmos給的一些評論我至今都還清楚記得。他寫的另一本書 “A Hilbert Space Problem Book”幾十年來一直是算子理論入門的必備參考書,也是我訓練博士生時要求他們研讀的第一本書。十幾年前,我有一次機會邀請他來交大訪問了五天。雖然在事前雙方頻繁地用電子郵件聯絡,但在機場初見面時,他似乎並不知道我和他曾有一段同在印大的日子。他當時已七十幾歲,兩人的關係也有了改變,他不再是那個高不可攀的數學家,而更像是一個和我從事同一領域研究的同事。訪台的第一天,他就要求我帶他到書店買了一份新竹市地圖。他訪問期間都住在市區的旅館。上午他就一個人對照地圖作每日的健行運動,下午我再接他到系裡從事演講等學術活動。一天他跟我說他已把新竹市變不見了,因為他沿著市區週邊繞行了一整圈,根據 Cauchy定理,其積分等於零。他回程搭機時,在機場廁所內,拿下假牙清洗,沒想到就此忘了,直上機後才發現,事後當然是找不到了,此事多年來一直是我和人聊天時常提起的趣聞。我最後一次見到他是在1994年美國數學會在辛辛那提開年會時的會場,他當然已完全不記得我是誰了。最近聽到的消息是他已在十月二日在加州因肺炎去世,享年90歲。回到這本書的內容。全書分成三個主要部份共十五章。在第一部份的七章裡,作者敘述他由求學到出師的人生歷程。他生於匈牙利,到十三歲時才來美國。大學部以至於博士班都在伊利諾大學唸的。他在1938年得到博士學位,是Joseph Doob指導的學生,主攻機率論。一年後他到數學殿堂的普林斯頓高等研究院(Institute for Advanced Study),前後共呆了三年,其間一度擔任傳奇數學家John von Neumann的助理。經過了這一段研究經驗的洗禮以及其他一些短期教學的經歷,他也完成了他數學發展的第一個階段。接下來在第二部份的四章裡,他敘述了他漸漸成熟成為一個學者的過程。這段期間,他任教於芝加哥大學,寫了測度論方面的經典著作 “Measure Theory”,也開始了算子理論的研究。在一九五○年代,他發現了次正規算子(subnormal operator)的概念,經過後來的持續發展,這已成為算子理論中重要的一支。這其中也有一章談到了他到烏拉圭訪問的經驗。第三部份的四章則是討論他成為資深學者的歷程。這包括了他在六○年代到世界各地的旅行訪問及他轉往密西根大學、夏威夷大學及印地安那大學等校任教的轉折過程。更重要的是他在這一部份給了不少要成為一個成功的職業數學家的具體建議。如同這一行業的行規秘密一樣,雖然在其內的每一個人都或多或少各自摸索出一些線索,但卻很少在其他數學家的傳記或自傳中被公開具體地陳述出來。例如他教我們怎麼教書(他最喜歡的是一種改良式的Moore教學法)、怎麼作研究(他的方法是不和人競爭作太熱門的問題,他自己的強項則是把兩件完全不同的事情聯結在一起)、怎麼幫人寫推薦信(他的建議是說實話,但不見得是所有的實話)、怎麼寫論文、怎麼指導研究生、怎麼寫審查意見、怎樣作一個期刊編輯等。舉凡從事這一行所可能遇到的情況,他都提出他的處理建議。這些對老師們的幫助可能比對學生還有用。但對後者來說,也因此可以窺視到對同一問題老師方面的觀點,因而對問題的不同面向有了更深一層的認識。書中最後一段的結尾是教人如何作一個數學家,也許這是全書最重要的一段訊息,其細節內容就請大家自行慢慢欣賞體會了。這本書作者用語幽默,用字則處處充滿機鋒,讀後不禁讓人莞爾一笑,充份展現了他文字運用的媚力。對於英文閱讀能力在一定水準以上者,將更能欣賞體會。書中也談到不少數學家的軼聞趣事並附有他們的照片。如果過去就聽過其名字或讀過其論文者,則看起來更會覺得鮮活動人。 Halmos一生經歷多采多姿,他在數學上的成就也許沒有達到世界第一流的水準,但他的思維觀念有很多值得後輩學習的地方。本書和其他數學家的傳記或自傳有相當大的差異性,很能展現他與眾不同的特質,因而我特推薦給本系的老師和同學們。我也以本文紀念追思一位當代典範的過世。